1 से 20 तक पहाड़े: पूरी टेबल और याद करने की ट्रिक
पहाड़े (टेबल) गणित की नींव हैं। गुणा, भाग, भिन्न, प्रतिशत, सब कुछ इन्हीं पर टिका है। जिस बच्चे को पहाड़े पक्के याद हैं, उसे आगे की क्लास में हिसाब लगाने में बहुत कम समय लगता है। इस पेज पर आपको 1 से 20 तक पहाड़े एक साथ मिलेंगे (1 का पहाड़ा तो बस वही अंक है, इसलिए टेबल 2 से शुरू होती है)। साथ में हैं पहाड़े याद करने की आसान ट्रिक, 9 का पहाड़ा उंगलियों पर निकालने का तरीका, और घर पर बच्चों से प्रैक्टिस करवाने के टिप्स।
2 से 20 तक पहाड़े (पूरी टेबल)
नीचे की हर टेबल में ऊपर पहाड़े का अंक है और बाईं ओर गुणा करने वाला अंक। जैसे "7 का" कॉलम और "× 6" वाली लाइन जहाँ मिलती है, वहाँ 42 लिखा है, यानी 7 × 6 = 42।
2 से 6 तक के पहाड़े
| गुणा | 2 का | 3 का | 4 का | 5 का | 6 का |
|---|---|---|---|---|---|
| × 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| × 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| × 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| × 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| × 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| × 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
| × 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 |
| × 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 |
| × 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 |
| × 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
7 से 11 तक के पहाड़े
| गुणा | 7 का | 8 का | 9 का | 10 का | 11 का |
|---|---|---|---|---|---|
| × 1 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| × 2 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 |
| × 3 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 |
| × 4 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 |
| × 5 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
| × 6 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 |
| × 7 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 |
| × 8 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 |
| × 9 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 |
| × 10 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
12 से 16 तक के पहाड़े
| गुणा | 12 का | 13 का | 14 का | 15 का | 16 का |
|---|---|---|---|---|---|
| × 1 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| × 2 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
| × 3 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 |
| × 4 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 |
| × 5 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
| × 6 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 |
| × 7 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 |
| × 8 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 |
| × 9 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 |
| × 10 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 |
17 से 20 तक के पहाड़े
| गुणा | 17 का | 18 का | 19 का | 20 का |
|---|---|---|---|---|
| × 1 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| × 2 | 34 | 36 | 38 | 40 |
| × 3 | 51 | 54 | 57 | 60 |
| × 4 | 68 | 72 | 76 | 80 |
| × 5 | 85 | 90 | 95 | 100 |
| × 6 | 102 | 108 | 114 | 120 |
| × 7 | 119 | 126 | 133 | 140 |
| × 8 | 136 | 144 | 152 | 160 |
| × 9 | 153 | 162 | 171 | 180 |
| × 10 | 170 | 180 | 190 | 200 |
पहाड़े याद करने की ट्रिक
पहाड़े रटने से ज़्यादा ज़रूरी है उनका पैटर्न समझना। पैटर्न समझ आ जाए, तो भूलने पर भी जवाब खुद निकाल सकते हैं।
1. उल्टा गुणा भी वही होता है
7 × 8 और 8 × 7 दोनों 56 हैं। यानी अगर बच्चे को 3 का पहाड़ा आता है, तो उसे 8 × 3 पहले से आता है। इस नियम से याद करने वाले गुणा लगभग आधे रह जाते हैं। 2 से 10 तक के पहाड़ों में सच में मुश्किल गुणा बहुत कम बचते हैं, जैसे 6 × 7, 6 × 8, 7 × 8 और 8 × 9।
2. 2, 5 और 10 का पहाड़ा सबसे पहले
- 10 का पहाड़ा: अंक के आगे बस एक शून्य लगाइए: 10 × 7 = 70।
- 2 का पहाड़ा: किसी अंक का दोगुना। 2 × 8 यानी 8 + 8 = 16।
- 5 का पहाड़ा: हर जवाब 5 या 0 पर खत्म होता है। ट्रिक: 10 के पहाड़े का आधा। 5 × 7 = 70 का आधा = 35।
3. दोगुना करने वाली ट्रिक (4, 6, 8)
- 4 का पहाड़ा = 2 के पहाड़े का दोगुना। 4 × 7 = 14 का दोगुना = 28।
- 8 का पहाड़ा = 4 के पहाड़े का दोगुना। 8 × 7 = 28 का दोगुना = 56।
- 6 का पहाड़ा = 3 के पहाड़े का दोगुना। 6 × 7 = 21 का दोगुना = 42।
4. 9 का पहाड़ा उंगलियों से
यह बच्चों की सबसे पसंदीदा ट्रिक है। दोनों हाथ सामने फैलाइए, हथेली अपनी तरफ़ नहीं, नीचे की तरफ़। बाएँ हाथ की सबसे छोटी उंगली 1 नंबर है, और दाएँ हाथ की सबसे छोटी उंगली 10 नंबर।
- 9 × 4 निकालना है, तो चौथी उंगली मोड़ दीजिए।
- मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर 3 उंगलियाँ बचती हैं, यह दहाई है।
- दाईं ओर 6 उंगलियाँ बचती हैं, यह इकाई है।
- जवाब: 36। यानी 9 × 4 = 36।
यह 9 × 1 से 9 × 10 तक हर बार काम करता है। 9 × 7 में सातवीं उंगली मोड़िए: बाईं ओर 6, दाईं ओर 3, जवाब 63।
5. 9 के पहाड़े का पैटर्न
9 का पहाड़ा देखिए: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90। दहाई का अंक 0 से 9 तक एक-एक बढ़ता है और इकाई का अंक 9 से 0 तक एक-एक घटता है। और हर जवाब के दोनों अंकों का जोड़ 9 होता है (1 + 8, 2 + 7, 3 + 6...)।
6. इकाई के अंकों का चक्र
- 2 के पहाड़े की इकाई: 2, 4, 6, 8, 0 बार-बार दोहराती है।
- 4 के पहाड़े की इकाई: 4, 8, 2, 6, 0।
- 6 के पहाड़े की इकाई: 6, 2, 8, 4, 0।
- 8 के पहाड़े की इकाई: 8, 6, 4, 2, 0।
- 3 के पहाड़े में हर जवाब के अंकों का जोड़ 3, 6, 9 के चक्र में चलता है: 12 (1 + 2 = 3), 15 (6), 18 (9), 21 (3)...
7. 11 का पहाड़ा
11 × 1 से 11 × 9 तक बस अंक को दो बार लिखिए: 11, 22, 33... 99। और 11 × 10 = 110।
8. 12 से 19 के पहाड़े: तोड़कर जोड़िए
बड़े पहाड़े रटने की बजाय उन्हें 10 और बाकी अंक में तोड़ दीजिए। जैसे 17 × 6:
- 10 × 6 = 60
- 7 × 6 = 42
- 60 + 42 = 102
इसी तरह 13 × 8 = 80 + 24 = 104। यानी अगर 2 से 9 तक के पहाड़े पक्के हैं, तो 12 से 19 तक के पहाड़े अपने आप निकल आते हैं।
9. 15, 18, 19 और 20 की शॉर्टकट
- 15 का पहाड़ा: 10 का पहाड़ा + उसका आधा। 15 × 6 = 60 + 30 = 90।
- 19 का पहाड़ा: 20 का पहाड़ा माइनस वही अंक। 19 × 7 = 140 − 7 = 133।
- 18 का पहाड़ा: 20 का पहाड़ा माइनस अंक का दोगुना। 18 × 7 = 140 − 14 = 126।
- 20 का पहाड़ा: 2 का पहाड़ा और आगे एक शून्य। 20 × 7 = 140।
10. 7 × 8 याद रखने का मज़ेदार तरीका
5, 6, 7, 8 लिखिए: 56 = 7 × 8। यह एक गुणा अक्सर बच्चों को उलझाता है, और यह क्रम उसे याद रखने में मदद करता है।
पहाड़े बोलकर याद करना
पुराने समय से भारत में पहाड़े ज़ोर से बोलकर, लय में याद किए जाते हैं, जैसे "दो एकम दो, दो दूनी चार, दो तियाँ छह..."। यह तरीका आज भी बढ़िया है, क्योंकि लय कानों में बैठ जाती है। लेकिन सिर्फ़ क्रम से बोलने की आदत हो, तो बच्चा बीच का गुणा (जैसे 7 × 6) पूछने पर शुरू से गिनना शुरू कर देता है। इसलिए बोलकर याद करने के बाद बिना क्रम के, उल्टे-पुल्टे सवाल पूछना ज़रूरी है।
बच्चों से पहाड़ों की प्रैक्टिस कैसे करवाएँ
- रोज़ थोड़ा-थोड़ा: एक दिन में एक या दो पहाड़े, 10-15 मिनट। हफ़्ते में एक दिन पुराने पहाड़ों का दोहराव।
- सही क्रम: पहले 2, 10, 5, फिर 3, 4, 9, 11, फिर 6, 7, 8, और आखिर में 12 से 20।
- उल्टे-पुल्टे सवाल: "8 × 6 कितना?", "किसमें 7 गुणा करें तो 42 आए?" जैसे सवाल पूछिए।
- रोज़मर्रा का हिसाब: "एक केला 5 रुपये का है, तो 6 केले कितने के?" ऐसे सवालों से पहाड़े असली ज़िंदगी से जुड़ जाते हैं।
- गलतियों की लिस्ट: जो गुणा बार-बार गलत होते हैं, उन्हें एक कागज़ पर लिखकर फ्रिज या पढ़ाई की टेबल के पास चिपका दीजिए।
- खेल-खेल में: टाइमर लगाकर गेम की तरह प्रैक्टिस करने से बच्चे का मन लगा रहता है।
Math Master गेम में पहाड़ों की प्रैक्टिस
GameChakra का Math Master गेम पहाड़ों की प्रैक्टिस को खेल बना देता है। इसके Tables Practice मोड में:
- 2 से 20 तक कोई भी एक पहाड़ा चुनें, या Mixed चुनें जिसमें अलग-अलग पहाड़ों के सवाल आते हैं। Mixed में शुरुआत 2 से 10 तक के पहाड़ों से होती है, और लगातार सही जवाब देने पर लेवल बढ़ता है, फिर 15 तक और फिर 20 तक के पहाड़े आने लगते हैं।
- हर सवाल के 4 जवाब दिखते हैं, सही वाले पर टैप करना है। हर सवाल के लिए 10 सेकंड मिलते हैं, जिससे जवाब जल्दी याद आने की आदत बनती है।
- 3 जान (lives) मिलती हैं। गलत जवाब या समय खत्म होने पर गेम आसान भाषा में समझाता है कि सही जवाब कैसे आया, जैसे 7 × 6 के लिए "6 groups of 7 make 42"।
- लगातार 5 सही जवाब पर कॉम्बो बोनस मिलता है, जो बच्चों को रुकने नहीं देता।
- खेल खत्म होने पर "Practise these" में वो सवाल दिखते हैं जो गलत हुए थे, ताकि अगली बार उन पर ध्यान दिया जा सके।
छोटे बच्चों के लिए Kids: Class 3–5 मोड में 2 से 10 तक के पहाड़े जोड़-घटाव के सवालों के साथ मिलकर आते हैं, और बड़ों के लिए Speed Challenge में 60 सेकंड में जितने हो सकें उतने सवाल टाइप करके हल करने होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
बच्चे को पहाड़े किस उम्र में याद करवाने चाहिए?
आमतौर पर स्कूलों में दूसरी-तीसरी क्लास के आसपास 2 से 10 तक के पहाड़े शुरू होते हैं, और चौथी-पाँचवीं तक 20 तक के पहाड़े सिखाए जाते हैं। लेकिन हर बच्चे की रफ़्तार अलग होती है, इसलिए दबाव डालने की बजाय रोज़ थोड़ी प्रैक्टिस बेहतर है।
पहाड़े जल्दी कैसे याद करें?
पहले आसान पहाड़े (2, 5, 10) पक्के करें, फिर उल्टे गुणा वाला नियम और दोगुना करने वाली ट्रिक इस्तेमाल करें। रोज़ 10-15 मिनट बिना क्रम के सवालों से प्रैक्टिस करें।
12 से 20 तक के पहाड़े याद करना ज़रूरी है क्या?
बहुत काम आते हैं, खासकर तेज़ हिसाब और प्रतियोगी परीक्षाओं में। लेकिन अगर 2 से 9 तक के पहाड़े पक्के हैं, तो ऊपर बताई "तोड़कर जोड़िए" ट्रिक से बड़े पहाड़े भी कुछ सेकंड में निकल आते हैं।
9 का पहाड़ा उंगलियों से कैसे निकालते हैं?
दसों उंगलियाँ फैलाइए और जितने से गुणा करना है, उतने नंबर की उंगली मोड़िए। मुड़ी उंगली के बाईं ओर की उंगलियाँ दहाई और दाईं ओर की उंगलियाँ इकाई हैं। जैसे 9 × 3 में तीसरी उंगली मोड़ने पर 2 और 7, यानी 27।
पहाड़े पढ़ लिए, अब खेलकर पक्के कीजिए। Math Master में पहाड़ों की प्रैक्टिस यहाँ फ्री खेलें।
